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  <title>排序算法 | 探花需拔根</title>
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                    <h2>
                        清风觅影
                    </h2>
                    
                </div>
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                    <h3>
                        致需极,守静笃
                    </h3>
                    
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        <section id="main" class="body-wrap"><article id="post-2017-11-25-排序算法" class="article article-type-post" itemscope itemprop="blogPost">
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      <header class="article-header">
        
  
    <h1 class="post-title" itemprop="name">
      排序算法
    </h1>
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      <ul>
          
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          <i class="fa fa-calendar"></i>  2017-11-25
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      </header>
    
    <div class="article-entry post-content" itemprop="articleBody">
      
            
            <blockquote>
<p>简介: 对常见排序算法进行总结<br><a id="more"></a></p>
<h1>排序算法</h1>


</blockquote>
<h1>一。 初级排序算法</h1>

<hr>

<h2>1. 选择排序</h2>

<blockquote>
  <h1>(1). 简单描述: 首先找到数组中最小的元素，其次，将它和数组的第一个元素交换位置(如果第一个元素就是最小元素,那么就和自己交换),再次，在剩下的元素中找到最小的元素，将它与数组第二个元素交换。如此往复,直到整个数组有序</h1>
</blockquote>

<h1>(2). 算法实现伪代码</h1>

<pre><code class="language-c line-numbers">void SelectSort(a[],N){
    for(int i=0;i&lt;N;i++){
        int m=i;
        for(int j=i+1;j&lt;N;j++)
            if(a[j] &lt; a[m]) m=j;
        swap(a,i,m);
    }
}
</code></pre>

<h1>(3). 复杂度分析</h1>

<h2>通过分析,对于一个长度为N的数组,0~N-1的任意一个i都会进行1次交换和N-1次比较，因此总共有N次交换以及(N-1)+(N-2)+……+2+1 = N*(N-1)/2 ~ N^2/2次比较，时间复杂度为O(n^2);</h2>

<h2>2.插入排序算法</h2>

<blockquote>
  <h1>(1). 简单描述：为了给要插入的元素腾出空间，我们需要将其余所有元素插入之前都向右移动一位。</h1>
</blockquote>

<h1>(2). 算法实现伪代码</h1>

<pre><code class="language-c line-numbers">void InsertSort(a[],N){
    for(int i=0;i&lt;N;i++)
        for(int j=i;j&gt;0 &amp;&amp; a[j] &lt; a[i];j--) swap(s,j,j-1);
}
</code></pre>

<h1>(3). 复杂度分析</h1>

<h2>对于长度为N且主键不重复的数组，平均情况下插入排序需要 ~ N^2/4 次比较以及 ~ N^2/4次交换，最坏情况下需要 ~N^2/2 次比较和 ~N^2/2 次交换。最好情况下需要 N-1次比较和0次交换</h2>

<h2>3.希尔排序</h2>

<blockquote>
  <h1>(1). 简单描述: 希尔排序为一种改进的插入排序,算法思想为：使数组中任意间隔为h的元素都是有序的，h由大到小，最后必须为1.这样权衡了子数组的规模和有序性，，可改进插入排序.</h1>
</blockquote>

<h1>(2). 实现代码：</h1>

<pre><code class="language-c line-numbers">void ShellSort(a[],N){
    int h=1;
    while(h&lt;N/3)h=h*3+1;
    while(1){
        for(int i=h;i&lt;N;i++)
            for(int j=i;j&gt;=h&amp;&amp;a[j] &lt; a[j-h];j-=h)
                swap(a[j],a[j+h]);
        h/=3;
    }
}
</code></pre>

<h1>(3). 算法分析</h1>

<h2>该算法的数学论证较复杂，和h的选择有密切关系，如使用算法有给出的序列，那么比较的次数不会超出$$N$$的若干倍乘以倍增序列的长度，对于中等大小的数组，它的运行时间是可以接受的，它代码量小，且不需要额外的内存空间。</h2>

<hr>

<h2># 二。归并排序</h2>

<h1>1. 思想描述:</h1>

<blockquote>
  首先将数组对半分为两个子数组，递归的利用归并排序完成子数组的排序，然后将两个已排好序的子数组合并即可。
</blockquote>

<h1>2. 将两个子数组合并算法Merge()实现:</h1>

<pre><code class="language-c line-numbers">void Merge(a[],lo,mid,hi,b[]){
    int i=lo,j=mid+1;
    for(int k=lo;k&lt;=hi;k++)b[k]=a[k];
    for(int k=lo;k&lt;=hi;k++){
        if(i &gt; mid)             a[k]=b[j++];
        else if(i&gt;hi)           a[k]=b[i++];
        else if(b[j] &lt; b[i])    a[k]=b[j++];
        else                    a[k]=b[i++]; 
    }
}
</code></pre>

<h1>3. 自顶向下的归并排序实现</h1>

<h2>1. 算法代码实现</h2>

<pre><code class="language-c line-numbers">void sort(a[],b[],N){
    mysort(a,0,N-1,b);
}
void mysort(a[],lo,hi,b[]){
    if(hi &lt;=lo ) return;
    int mid=lo+(hi-lo)/2;
    mysort(a,lo,mid);
    mysort(a,mid+1,hi);
    Merge(a,lo,mid,hi,b);
}
</code></pre>

<h2>2. 复杂度分析:</h2>

<h3>对于一个长度为N的数组，归并排序需要$$(1/2NlgN)-(NlgN)$$次比较</h3>

<h3>证明: 令C(N)表示将数组排序是比较次数，显然，C(0)=C(1)=0;通过递归调用mysort, 可得上限为:$$ C(N) &lt;= C(lceil(N/2))+C(lfloor(N/2))+N $$</h3>

<h3>左边第一项为排序左半部分比较次数，第二项为有半部分的比较次数，第三项为归并是需要的比较次数，比较次数最少为 $$ lfloor(N/2) $$ ，所以下限为 $$ C(N) >= C(lceil(N/2))+C(lfloor(N/2))+ lfloor(N/2) $$</h3>

<h3>假定 $$ N=2^N $$</h3>

<h2>3. 几个改进技巧：</h2>

<blockquote>
  <ol>
  <li>对小规模的数组使用插入排序</li>
  <li>测试数组是否有序</li>
  <li>不复制元素到辅助数</li>
  </ol>
</blockquote>

<h1>4. 自底向上的归并排序</h1>

<h2>(1). 代码实现</h2>

<pre><code class="language-c line-numbers">void sort(a[],b[],N){
    for(int sz=1;sz&lt;N;sz=sz+sz){
        for(int lo=0;lo&lt;N-sz;lo+=sz+sz)
            merge(a,lo,lo+sz-1,min(lo+sz+sz-1,N-1));
    }
}
</code></pre>

<h2>(2). 自底向上归并排序复杂度</h2>

<blockquote>
  <h2>对于长度为N的任意数组,自底向上的归并排序需要 $$ 1/2 * N * lg(N) $$ 到 $$ N * lg(N) $$次比较，最多访问数组 $$ 6 * N * lg(N)$$ 次。 当数据长度为2的幂次方时，自顶向下和自底向上的归并排序所用的比较次数和访问数组的次数正好相同，只是顺序不同。其他时候，两种方法的比较次数和访问数组次数都会有所不同，由于较为复杂，这里不作分析。</h2>
</blockquote>

<hr>

<h1>三。基于比较算法的复杂度分析</h1>

<blockquote>
  <h2>对于基于比较的算法，没有任何一种能够保证少于 $$ lg(N!) ~ N*lg(N) $$ 次比较而将数组排序.</h2>

  首先，假设没有重复的主键，因为任何排序算法都必须能够处理这种情况。我们使用二叉比较树来表示所有的比较(如图所示).
  此二叉比较树是我们描述算法的工具，并没有实际的实现过.
  观察二叉比较树，我们得到一个重要的结论： 这棵树应该有至少 $$N!$$个叶子结点,因为N个不同的主键会有N!中不同的排列。
  那么我们可以得到，从根节点到叶子节点的一条路径上的内部节点的数量即是某中输入下算法进行比较的次数。我们最后的结论
  这棵树能有多高，因为这也是算法比较次数的最坏情况。
  二叉树有这样的性质：对于一个高度为h的二叉树，其最多有$$2^h$$个叶子节点(即为完全二叉树).
  所以，对于任何给予比较的排序算法都对应着一棵高度为h的比较树。h就是最坏情况下的比较次数，因此对等式两边同时取对数可得
  任意算法的比较次数至少是lg(N!)。根据斯特灵公式对阶乘函数近似可得比较次数为: $$ lg(N!)$$ ~ $$N*lg(N)$$
</blockquote>

<h2>结论： 归并算法是一种渐进最优的基于比较排序算法，最坏情况下的比较次数和任意基于比较的排序算法的最少比较次数都是$$ ~Nlg(N) $$</h2>

<h2>注: 斯特灵公式为:$$lg(N!) = lg1+lg2+lg3+lg4+……+lgN ~=N*lgN$$</h2>

<h2>二叉比较树示例:</h2>

<p><img src="#" alt="二叉比较树图片示例"></p>
<hr>

<h1>四. 快速排序</h1>

<h2>1. 简要描述: 快速排序引人注目的特点包括他是原地排序(只要很小的辅助栈),且长度为N的数组排序所需要的时间和 $$ N * lg(N) $$ 成正比。之前讲的算法无一结合了这俩优点。</h2>

<h2>2. 算法思想: 总得来讲，快速排序是一种分治思想</h2>
            <div class="post-copyright">
    <div class="content">
        <p>最后更新： 2020年03月02日 20:53</p>
        <p>原始链接： <a class="post-url" href="/2017/11/25/2017-11-25-排序算法/" title="排序算法">/2017/11/25/2017-11-25-排序算法/</a></p>
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            <ol class="post-toc"><li class="post-toc-item post-toc-level-1"><a class="post-toc-link" href="#null"><span class="post-toc-text">排序算法</span></a></li><li class="post-toc-item post-toc-level-1"><a class="post-toc-link" href="#null"><span class="post-toc-text">一。 初级排序算法</span></a><ol class="post-toc-child"><li class="post-toc-item post-toc-level-2"><a class="post-toc-link" href="#null"><span class="post-toc-text">1. 选择排序</span></a></li></ol></li><li class="post-toc-item post-toc-level-1"><a class="post-toc-link" href="#null"><span class="post-toc-text">(1). 简单描述: 首先找到数组中最小的元素，其次，将它和数组的第一个元素交换位置(如果第一个元素就是最小元素,那么就和自己交换),再次，在剩下的元素中找到最小的元素，将它与数组第二个元素交换。如此往复,直到整个数组有序</span></a></li><li class="post-toc-item post-toc-level-1"><a class="post-toc-link" href="#null"><span class="post-toc-text">(2). 算法实现伪代码</span></a></li><li class="post-toc-item post-toc-level-1"><a class="post-toc-link" href="#null"><span class="post-toc-text">(3). 复杂度分析</span></a><ol class="post-toc-child"><li class="post-toc-item post-toc-level-2"><a class="post-toc-link" href="#null"><span class="post-toc-text">通过分析,对于一个长度为N的数组,0~N-1的任意一个i都会进行1次交换和N-1次比较，因此总共有N次交换以及(N-1)+(N-2)+……+2+1 = N*(N-1)/2 ~ N^2/2次比较，时间复杂度为O(n^2);</span></a></li><li class="post-toc-item post-toc-level-2"><a class="post-toc-link" href="#null"><span class="post-toc-text">2.插入排序算法</span></a></li></ol></li><li class="post-toc-item post-toc-level-1"><a class="post-toc-link" href="#null"><span class="post-toc-text">(1). 简单描述：为了给要插入的元素腾出空间，我们需要将其余所有元素插入之前都向右移动一位。</span></a></li><li class="post-toc-item post-toc-level-1"><a class="post-toc-link" href="#null"><span class="post-toc-text">(2). 算法实现伪代码</span></a></li><li class="post-toc-item post-toc-level-1"><a class="post-toc-link" href="#null"><span class="post-toc-text">(3). 复杂度分析</span></a><ol class="post-toc-child"><li class="post-toc-item post-toc-level-2"><a class="post-toc-link" href="#null"><span class="post-toc-text">对于长度为N且主键不重复的数组，平均情况下插入排序需要 ~ N^2/4 次比较以及 ~ N^2/4次交换，最坏情况下需要 ~N^2/2 次比较和 ~N^2/2 次交换。最好情况下需要 N-1次比较和0次交换</span></a></li><li class="post-toc-item post-toc-level-2"><a class="post-toc-link" href="#null"><span class="post-toc-text">3.希尔排序</span></a></li></ol></li><li class="post-toc-item post-toc-level-1"><a class="post-toc-link" href="#null"><span class="post-toc-text">(1). 简单描述: 希尔排序为一种改进的插入排序,算法思想为：使数组中任意间隔为h的元素都是有序的，h由大到小，最后必须为1.这样权衡了子数组的规模和有序性，，可改进插入排序.</span></a></li><li class="post-toc-item post-toc-level-1"><a class="post-toc-link" href="#null"><span class="post-toc-text">(2). 实现代码：</span></a></li><li class="post-toc-item post-toc-level-1"><a class="post-toc-link" href="#null"><span class="post-toc-text">(3). 算法分析</span></a><ol class="post-toc-child"><li class="post-toc-item post-toc-level-2"><a class="post-toc-link" href="#null"><span class="post-toc-text">该算法的数学论证较复杂，和h的选择有密切关系，如使用算法有给出的序列，那么比较的次数不会超出$$N$$的若干倍乘以倍增序列的长度，对于中等大小的数组，它的运行时间是可以接受的，它代码量小，且不需要额外的内存空间。</span></a></li><li class="post-toc-item post-toc-level-2"><a class="post-toc-link" href="#null"><span class="post-toc-text"># 二。归并排序</span></a></li></ol></li><li class="post-toc-item post-toc-level-1"><a class="post-toc-link" href="#null"><span class="post-toc-text">1. 思想描述:</span></a></li><li class="post-toc-item post-toc-level-1"><a class="post-toc-link" href="#null"><span class="post-toc-text">2. 将两个子数组合并算法Merge()实现:</span></a></li><li class="post-toc-item post-toc-level-1"><a class="post-toc-link" href="#null"><span class="post-toc-text">3. 自顶向下的归并排序实现</span></a><ol class="post-toc-child"><li class="post-toc-item post-toc-level-2"><a class="post-toc-link" href="#null"><span class="post-toc-text">1. 算法代码实现</span></a></li><li class="post-toc-item post-toc-level-2"><a class="post-toc-link" href="#null"><span class="post-toc-text">2. 复杂度分析:</span></a><ol class="post-toc-child"><li class="post-toc-item post-toc-level-3"><a class="post-toc-link" href="#null"><span class="post-toc-text">对于一个长度为N的数组，归并排序需要$$(1/2NlgN)-(NlgN)$$次比较</span></a></li><li class="post-toc-item post-toc-level-3"><a class="post-toc-link" href="#null"><span class="post-toc-text">证明: 令C(N)表示将数组排序是比较次数，显然，C(0)=C(1)=0;通过递归调用mysort, 可得上限为:$$ C(N) &lt;= C(lceil(N/2))+C(lfloor(N/2))+N $$</span></a></li><li class="post-toc-item post-toc-level-3"><a class="post-toc-link" href="#null"><span class="post-toc-text">左边第一项为排序左半部分比较次数，第二项为有半部分的比较次数，第三项为归并是需要的比较次数，比较次数最少为 $$ lfloor(N/2) $$ ，所以下限为 $$ C(N) &gt;= C(lceil(N/2))+C(lfloor(N/2))+ lfloor(N/2) $$</span></a></li><li class="post-toc-item post-toc-level-3"><a class="post-toc-link" href="#null"><span class="post-toc-text">假定 $$ N=2^N $$</span></a></li></ol></li><li class="post-toc-item post-toc-level-2"><a class="post-toc-link" href="#null"><span class="post-toc-text">3. 几个改进技巧：</span></a></li></ol></li><li class="post-toc-item post-toc-level-1"><a class="post-toc-link" href="#null"><span class="post-toc-text">4. 自底向上的归并排序</span></a><ol class="post-toc-child"><li class="post-toc-item post-toc-level-2"><a class="post-toc-link" href="#null"><span class="post-toc-text">(1). 代码实现</span></a></li><li class="post-toc-item post-toc-level-2"><a class="post-toc-link" href="#null"><span class="post-toc-text">(2). 自底向上归并排序复杂度</span></a></li><li class="post-toc-item post-toc-level-2"><a class="post-toc-link" href="#null"><span class="post-toc-text">对于长度为N的任意数组,自底向上的归并排序需要 $$ 1/2 * N * lg(N) $$ 到 $$ N * lg(N) $$次比较，最多访问数组 $$ 6 * N * lg(N)$$ 次。 当数据长度为2的幂次方时，自顶向下和自底向上的归并排序所用的比较次数和访问数组的次数正好相同，只是顺序不同。其他时候，两种方法的比较次数和访问数组次数都会有所不同，由于较为复杂，这里不作分析。</span></a></li></ol></li><li class="post-toc-item post-toc-level-1"><a class="post-toc-link" href="#null"><span class="post-toc-text">三。基于比较算法的复杂度分析</span></a><ol class="post-toc-child"><li class="post-toc-item post-toc-level-2"><a class="post-toc-link" href="#null"><span class="post-toc-text">对于基于比较的算法，没有任何一种能够保证少于 $$ lg(N!) ~ N*lg(N) $$ 次比较而将数组排序.</span></a></li><li class="post-toc-item post-toc-level-2"><a class="post-toc-link" href="#null"><span class="post-toc-text">结论： 归并算法是一种渐进最优的基于比较排序算法，最坏情况下的比较次数和任意基于比较的排序算法的最少比较次数都是$$ ~Nlg(N) $$</span></a></li><li class="post-toc-item post-toc-level-2"><a class="post-toc-link" href="#null"><span class="post-toc-text">注: 斯特灵公式为:$$lg(N!) = lg1+lg2+lg3+lg4+……+lgN ~=N*lgN$$</span></a></li><li class="post-toc-item post-toc-level-2"><a class="post-toc-link" href="#null"><span class="post-toc-text">二叉比较树示例:</span></a></li></ol></li><li class="post-toc-item post-toc-level-1"><a class="post-toc-link" href="#null"><span class="post-toc-text">四. 快速排序</span></a><ol class="post-toc-child"><li class="post-toc-item post-toc-level-2"><a class="post-toc-link" href="#null"><span class="post-toc-text">1. 简要描述: 快速排序引人注目的特点包括他是原地排序(只要很小的辅助栈),且长度为N的数组排序所需要的时间和 $$ N * lg(N) $$ 成正比。之前讲的算法无一结合了这俩优点。</span></a></li><li class="post-toc-item post-toc-level-2"><a class="post-toc-link" href="#null"><span class="post-toc-text">2. 算法思想: 总得来讲，快速排序是一种分治思想</span></a></li></ol></li></ol>
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